Documents pour l'écrit du CAPES de Mathématiques

Cette page contient quelques éléments de correction personnelle portant sur les épreuves d'écrit des CAPES de 2012 à 2018. Voir les énoncés complets de ces sujets sur le site du jury du CAPES
Quelques autres problèmes sur des thèmes divers, complètent cette page. On trouvera de nombreux sujets de baccalauréat de l'ancienne filière terminale C, sachant qu'un niveau 08/20 à l'un quelconque de ces sujets est très clairement strictement supérieur au seuil d'admissiblité des sessions 2017 à 2019 du CAPES.

NB. Une page "Ecrit du CAPES" allégée a été créée en février 2019 : CAPES : Problèmes de révision , ceci afin de faciliter la recherche de problèmes d'entraînement à l'écrit autres que les sujets posés au concours.

CAPES 2020

L'épreuve 1 portait sur les notions de courbes de Bézier et de polynômes de Bernstein
L'épreuve 2, longue comme une Saint-Jean sans pain ni saucisson, portait sur différentes notions de moyennes dans différentes circonstances.
Je me permets de souligner que, plus bas dans cette page (et aussi dans la page simplifiée) on trouve, à la disposition des candidats : Un candidat assez curieux pour débusquer ces documents pouvait s'y procurer quelques munitions de gros calibre.
Clairement, une correction complète ferait double emploi. De ce fait voici uniquement un corrigé des parties E et F de l'épreuve 1.

CAPES 2019

Un sujet se démarque des autres, le problème 2 de l'épreuve 2, problème "à thème", certes un peu trop découpé façon chiffonnade de jambon Aoste, mais dont le thème d'étude est original et intéressant.

CAPES Agricole 2019

Une intéressante et instructive "partie A", portant sur un calcul historique de la distance Terre-Lune.
Objectif Lune ! . Eléments de correction du CAPES Agricole 2019

CAPES 1992

La deuxième épreuve de cette session a récemment attiré mon attention car son sujet recoupe certains thèmes abordés en 2017, relatifs au réseau ZxZ. J'en ai tiré trois problèmes indépendants, chacun bien entendu plus court que le sujet original, tous susceptibles de servir de problèmes d'entraînement pour les CAPES >=2019

CAPES 2018

Un peu plus de variété cette session et un retour, certes sur la pointe des pieds mais qu'il est important de saluer, de la géométrie.
On peut cependant regretter l'ingérence exagérée de questions portant sur l'utilisation de produits Microsoft ou leurs clones.

CAPES 2017

Les "tendances scélérates" dénoncées déjà en 2016 se confirment cette année. Certes, chacun des quatre problèmes proposés, pris à part, présente un intérêt. Mais la monotonie des thèmes abordés par leur ensemble ne permet pas de mettre en évidence ni les qualités de raisonnement d'un futur professeur de Mathématiques, ni l'étendue de ses savoirs. Il s'ajoute à cela un saucissonnage des énoncés en complète contradiction avec les intentions affichées par les programmes que seront censés appliquer ces futurs professeurs. Sans doute un aveu que ces intentions resteront voeu pieux et lettre morte.
Il est évident maintenant que le niveau de culture mathématique requis pour le concours est passé nettement en dessous du niveau d'un bon élève de Terminale C du début des années 1990. Mais apparemment c'est là une volonté délibérée des instances ministérielles.

CAPES 2016

La Géométrie brille par son absence dans les sujets de la session 2016. Déjà suppliciée dans les nouveaux programmes du Collège, la voilà qui disparaît du paysage familier des épreuves du CAPES. Est-ce une concession faite aux tendances scélérates à toujours plus de numérique ? En contrepartie en effet, on frise l'indigestion d'approximations de toutes sortes.

CAPES 2015

La session 2015 marque une évolution nette du style de problèmes posés. Les quatre problèmes ne sont pas vraiment festifs, loin s'en faut, mais ils sont parfaitement bien dosés pour évaluer le niveau mathématique minimal (certains diront minimaliste) requis pour le concours. Ceux et celles qui souhaitent des sujets plus audacieux n'ont qu'à se mesurer aux problèmes du Concours Général proposés dans la page dédiée, beaucoup plus éthérés et à la saveur plus épicée.

CAPES 2014

Quelques éléments (un peu bruts de décoffrage) à propos des deux problèmes de géométrie posés dans cette session : Epreuve 1 pb 1 et épreuve 2 pb 3.

CAPES 2013

CAPES 2012

Divers

Quelques problèmes grossièrement classés. Beaucoup de géométrie, un peu de probabilités, un peu d'arithmétique, un peu d'analyse et sinon du "tout venant" où, comme son nom l'indique, on trouve un peu de tout.

Géométrie

Une distance bornée

Paris bac C 1979. Une curieuse distance dans le plan.

Des applications affines remarquables

Pondichéry bac C 1982. Sujet varié et formateur.

Une application du plan épointé définie à l'aide des complexes

Rennes bac C 1977. une application du plan complexe, un groupe pour la loi o et une relation d'équivalence.

Lieu et construction

Problème de géométrie tiré d'un manuel de Terminale C. Comment choisir un point K dans un triangle ABC pour qu'il soit isobarycentre d'un triangle PQR inscrit dans ABC ? Et ce qui s'ensuit ...
Ce sujet n'est pas destiné prioritairement aux candidats au CAPES, car son style a disparu des radars ministériels. Il est ici à titre de culture générale mathématique, témoin de temps révolus. Ce sujet est accompagné d'un corrigé.

Les trois tangents

Ce document présente le sujet d'un exercice de géométrie d'un exercice du concours canadien CIPAS 2010. Il s'agit de déterminer le rayon d'un cercle satisfaisant des conditions de tangence avec deux autres cercles. Puis de construire la figure correspondante.
Le document est composé du sujet original, de deux énoncés plus fermés explorant deux pistes de résolution différentes et d'un corrigé. Chacun pourra choisir sa mouture.

Point de Fermat/Torricelli par les complexes

Baccalauréat série C Rennes septembre 1976 : l'outil des nombres complexes.
Le sujet original, autre témoignage de temps anciens.
Ce sujet est accompagné d'un corrigé.

Un problème de construction

Une affaire de milieux : l'outil du calcul vectoriel et l'outil barycentrique ; ce qu'il s'ensuit.
D'après un exercice du regretté concours CIPAS, session 2011. Ce sujet est accompagné d'un corrigé.

Fonctions scalaires de Leibniz

Etude sur ces fonctions scalaires. Compilation de trois documents datant de la préparation au CAPES des années 2000 à 2006.

Migration barycentrique

La migration barycentrique ou "morphing" permet de transformer un objet géométrique en un autre
Ce document propose une étude de quelques exemples simples de migration avec son corrigé.

Applications variées du barycentre, droite d'Euler.

Baccalauréat La Réunion 1987. Un sujet original et intéressant qui permet de travailler de façon approfondie l'outil vectoriel et celui des barycentres.

Droite d'Euler, cercle d'Euler, application

Du cercle d'Euler d'un triangle aux olympiades balkaniques 2016. Une mouture "terminale C" du siècle dernier d'un thème classique de la géométrie du triangle
Application à un exercice des olympiades balkaniques 2016
Ce document propose un texte d'énoncé, une page d'indications et un corrigé.

Isotomie

Deux problèmes portant sur l'isotomie. Ces deux documents proposent chacun un texte d'énoncé et un corrigé.

Configurations de Vecten et de Van Aubel

Etude conjointe Vecten / Van Aubel Un problème proposant l'étude, à l'aide de l'outil des nombres complexes, de ces deux configurations, classiques des manuels de première et terminale scientifique.
Un problème annexe (problème de lieu) en lien avec la configuration de Vecten.

L'heptadécagone

L'heptadécagone : Constructibilité du polygone régulier à 17 côtés.

Documents relatifs au thème "courbes de Bézier"

(Inédit) Triangles dont un angle mesure 120 degrés

Etude de triangles dont un angle mesure 120 degrés. Recherche de tels triangles dont les côtés sont des nombres entiers
Après une petite partie "Géométrie" (construction de triangles particuliers), le problème vire résolument à un problème d'arithmétique.
On recherche des triangles à côtés entiers puis des triangles à côtés entiers dont deux sont des entiers consécutifs.
  • Voir des indications et réponses éparses sur la résolution de ce problème.
  • Voir un corrigé complet de ce problème.
  • Un concours blanc

  • Problème 01 d'entraînement
    Un concours blanc sur la notion de barycentre, de coordonnées barycentriques, de céviennes d'un triangle, ... posé en concours blanc en 2010.
    Voir le corrigé
  • Probabilités

    Coups de dés

    Je me suis inspiré pour ce problème d'un exercice du concours Général 2009. Il s'agit d'étudier plusieurs stratégies pour optimiser un nombre de points lié au lancer de trois dés. Une application de la notion d'espérance mathématique en tant que "aide à la décision".
    Le sujet et un corrigé.

    Who pays for the beer ?

    Un exercice extrait de la session 2012 de l'excellent concours canadien CIPAS, hélas défunt. Le premier qui tire un as paye la tournée. Le sujet et un corrigé.

    Paris baccalauréat série C 1975

    Un problème à thème : probabilité de ruine d'un joueur.
    Où l'on mesure que la série S dite actuellement "scientifique" n'a strictement rien à voir avec l'ancienne filière bac C. Le sujet et un corrigé. Un excellent sujet de CAPES >=2020.

    Le problème des anniversaires

    Problème récurrent dans les manuels de terminale
    Quelle est la probabilité que deux élèves de la classe fêtent leur anniversaire le même jour ? Le sujet et un corrigé

    Poolage

    Pamela part en week-end.
    Mais elle doit avant cela terminer son travail ... Terminera-t-elle à temps ?
    Une application des lois binomiales. Le sujet et un corrigé

    Le jeu des quatre dames

    En application de la notion de probabilité conditionnelle : Système complet d'évènements et formule des probabilités totales.
    Arrivera-t-on à retourner les quatre dames ? Le jeu probablement dit et une généralisation : Le sujet et un corrigé

    Questions pour un champion en ligne

    Enoncés de deux problèmes de probabilités distincts inspiré par le jeu QPUC de FR3 (version en ligne).
    Ces problèmes étudient un modèle d'urnes puis s'appliquent à quelques questions que l'on peut se poser à propos du jeu QPUC.
    Le premier problème étudient la probabilité de retrouver un questionnaire déjà vu lors de l'épreuve "Face à face" de ce jeu.
    Le deuxième problème étudie l'espérance du temps d'attente nécessaire pour obtenir tous les questionnaires disponibles.
    Ce deuxième problème est illustré par une simulation.
    L'énoncé est un peu brut de décoffrage. Sur le même thème, le très bon sujet de probabilités du CAPES 2016 est plus gratifiant.

    Modèle d'Ehrenfest

    Trois boules dans les urnes puis quatre puis cinq ... Problème de probabilités amenant à des suites numériques.
    Le cas M=3 est de difficulté moyenne, les cas M=4 puis M=5 donnent lieu à des calculs plus éthérés. On y trouve des racines de 10 puis des racines de 19 là où on n'en attendait pas.
    L'énoncé est volontairement assez ouvert, les résultats à obtenir sont à votre charge.

    Analyse

    Une modélisation célèbre

    Le modèle de Verhulst. Un exemple de modélisation continue et les problèmes qui surgissent en cas de modélisation discrète.
    Un problème formateur pour les candidat(e)s au CAPES.

    Minimisation d'un temps de parcours

    Le crocodile et le zèbre. Une contextualisation d'un problème de plus court trajet dans deux mileux différents.
    Les candidat(e)s au CAPES se doivent d'avoir vu un exemple de telle situation au cours de leur préparation.

    Calcul d'une intégrale de Gauss

    Baccalauréat terminale C Liban 1978, le problème. Ce sujet est connu pour être, avec Aix-Marseille 1981, l'un des plus consistants de l'histoire de la filière C. Le problème développe une démarche aboutissant au calcul d'une intégrale de Gauss.
    On trouvera par ailleurs un des deux exercices accompagnant ce problème du même sujet.

    Pas loin de la formule de Stirling

    Baccalauréat terminale C centres étrangers 1994, le problème. Sujet représentatif de son époque. Ce problème développe une démarche permettant de donner une estimation de la factorielle d'un entier assez performante pour un niveau de Terminale. L'énoncé est extrêment guidé, comme c'était le cas dans nombre de sujets de baccalauréat. L'enfonçage de portes ouvertes n'avait pas encore été découvert. Là, c'est plutôt le défonçage à coups de pied, macarel !

    Méthode d'interpolation de Hermite

    Interpolation d'une fonction sur un segment par un polynôme bi-osculateur.
    En feuilletant le Magnard Terminale C édition 1983, je suis tombé par hasard sur le sujet de Bac Nancy-Metz 1982. Il n'y a aucun doute, il s'agit, en plus épicé, du sujet de la première épreuve d'une prochaine session du CAPES.

    Autour de la suite de Fibonacci

    caplp2020, exercice 3. Un corrigé personnel de cet exercice, traitant de la suite de Fibonacci avec des outils du lycée. Les parties B et C sont corrigées, mais j'ai pris quelques libertés avec la partie A.
    Voir plus bas le paragraphe "théorème de Lamé" pour une application de ce type de suite.
    .

    Une équation fonctionnelle

    Baccalauréat terminale S, Amérique du Sud septembre 1986. Une équation fonctionnelle un peu ésotérique certes, mais un chapelet de méthodes que l'on retrouve dans l'étude d'un bon nombre de problèmes de genre.

    Le problème de Bâle

    Baccalauréat terminale C Aix-Marseille 1981, le problème. Le sujet Aix-Marseille terminale C juin 1981 est connu pour être, avec Liban 1978, l'un des plus consistants de l'histoire de la filière C. Le problème présente une méthode de calcul de la somme des inverses des carrés d'entiers.
    On trouvera par ailleurs un des deux exercices accompagnant ce problème du même sujet.

    Une série convergente

    Baccalauréat terminale C Centres étrangers 1979. Un exercice de ce sujet, avec en prime un prolongement. Série convergente associée à une suite croissante d'entiers > 1. Cas où la limite est rationnelle, cas où elle ne l'est pas.

    Convergence géométrique, convergence quadratique

    Baccalauréat terminale C Montpellier 1979. Le problème de ce sujet. Il y est question d'applications contractantes, puis de deux types de convergence. Disons, de façon édulcorante, niveau "CAPES soutenu".

    L'épidémie

    Baccalauréat métropole 2017. un exercice au carrefour des probabilités, des suites et des matrices. Prémonitoire dans ces temps sombres de mars 2020. On y apprend que le pic est atteint après 4 semaines mais, dans cette histoire, tout est bien qui finit bien.

    Comparaison des trois moyennes

    Baccalauréat terminale C Nancy-Metz 1979. Comparaison des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de n réels strictement positifs.
    Sujet et corrigé. En prime, un ajout présentant un encadrement de la factorielle de n, dont il est accessoirement question dans la "deuxième application" du problème.

    Modèle de Lotka-Volterra, une histoire de renards et de campagnols

    Systèmes de deux suites récurrentes. Autour de l'exercice 4 du sujet de Bac Terminale S Amérique du Nord 2018
    Pour aller plus loin à propos de la situation décrite dans ce sujet.
    Une étude plus générale du modèle discrétisé de Lotka-Volterra.

    Voyage au Malthuskistan

    Le sujet de baccalauréat série C Montpellier 1984, portant sur des suites récurrentes doubles. Mais où sont les suites d'antan ?
    Le sujet original avec complément sur suites récurrentes doubles.
    Un corrigé commenté.

    Arithmétique

    Triangles entiers

    Triangles entiers dont le périmètre est donné
    Savez vous qu'il y a plus de 85000 triangles entiers dont périmètre est égal à 2020 ?
    En voici une mouture python allégée.

    Un théorème de Fermat

    La démo de Don Zagier
    du fait que tout nombre premier de la forme 4n+1 est une somme de deux carrés.

    Bac Paris série C 1982

    L'exercice 1 de ce sujet, portant sur la notion de division euclidienne. Quand le quotient devient le diviseur et vice versa...
    Sujet formateur sur le thème "division euclidienne" pour des candidats au CAPES.

    Numération et équation diophantienne

    Montpellier Terminale C septembre 1979, exercice 1
    Un problème de numération amenant à la résolution d'une équation diophantienne.

    Les répunits et les répéchis

    Les Nombres répunits et nombres répéchis. Des nombres dont l'écriture en numération décimale est particulière.

    Une contextualisation d'équations diophantiennes

    Lyon terminale C 1976 exercice 2. Quels sont les points à coordonnées entières d'une droite dont l'équation cartésienne est à coefficients entiers ?
    Un exemple d'exercice qu'il est envisageable de sélectionner pour un "oral 2" sur le thème de l'arithmétique. Il est corrigé dans cette optique.

    PGCD des termes homologues de deux suites de nombres entiers

    Aix Marseille terminale C 1977 exercice 1. Comment évolue le PGCD des termes homologues de deux suites d'entiers ? Un type d'exercice asssez courant à l'époque. Relooké à la mode contemporaine, ce type d'exercice peut encore être envisagé en terminale S spé. Le lecteur devrait trouver quelques sujets analogues dans certains manuels récents (?).

    Les nombres harmoniques

    Les nombres harmoniques sont les sommes partielles de la série harmonique. Ce sujet est inspiré d'un exercice du Terracher 1999. De l'analyse très classique dans les deux premières parties puis une troisième partie très arithmétique.

    Une infinité de nombres premiers

    Aix-Marseille terminale C 1981, un exercice. Une infinité de nombres premiers de la forme 4n-1.

    Une exercice "avec prise d'initiative"

    Liban terminale C 1978, un exercice. Un ensemble de nombres entiers aux propriétés pittoresques. Cet exercice pourrait être revisité avec les méthodes algorithmiques contemporaines.

    La voisine de palier

    La voisine de palier est le sujet d'un exercice d'arithmétique de niveau Terminale S Spé inspiré d'un concours mathématique canadien.

    Théorème de Lamé

    Le théorème de Lamé majore le nombre de divisions nécessaires dans l'algorithme d'Euclide pour obtenir le PGCD. Une démonstration de ce théorème est proposée par ce problème, en application de l'étude d'une suite de Finobacci...
    Voir le corrigé

    Suites d'Eden

    Les suites d'Eden constituent une autre application des suites de Fibonacci : il s'agit de dénombrer des suites d'entiers extraites de {1,2,...,n} satisfaisant certaines conditions.
    Voir le corrigé

    Mathématiques générales (tout venant ...)

    Applications linéaires du plan ou de l'espace dont on connaît le noyau et l'image

    Baccalauréat Orléans 1976. Etude des endomorphismes du plan et de l'espace dont le noyau et l'image sont donnés

    Lois de groupe dans les anciens sujets de bac Terminale C

    Les structures algébriques étaient, à cette époque, au programme de la classe de terminale série C. Il s'ensuivait de très intéressants problèmes posés régulièrement au bac. Aujourd'hui, ces mêmes problèmes fourniraient d'authentiques sujets de CAPES que d'aucune considèreraient comme "coriaces".
    • la loi étoile sur l'intervalle ]-1, +1[ est une loi de groupe qui a fait l'objet de plusieurs problèmes de baccalauréat série C dans les années 1970/1980.
      En voici une synthèse, un sujet inspiré de Besançon septembre 1974 et Groupe1 1983 (entre autres) suivi de son corrigé. Structure de groupe, isomorphismes de groupes, une équation fonctionnelle.
    • Un sujet voisin : Limoges 1974, une autre équation fonctionnelle en lien avec la même loi étoile.
    • Un sujet analogue : Côte d'Ivoire 1978, une autre loi, définie celle-ci sur l'intervalle ]-1, plus l'infini[. On y retrouve à peu près les mêmes thèmes que dans le sujet de la loi étoile. Sujet très instructif lui aussi.

    Réordonnement

    Inégalités de réordonnement et une inégalité de Tchebychev.
    Ce problème corrigé présente diverses manières de tricoter deux listes de réels strictement positifs.

    Des histoires de racines

    Les TRPI

    Ou "triangles rectangles pseudo-isocèles". D'après le baccalauréat Métropole 2017, exercice 4 spécialité. Il y a 10 TRPI dont l'aire est plus petite que celle de la France et 11 dont l'aire est plus petite que celle de l'ex-URSS. Le saviez-vous ?
    Les TRPI : une mouture modifiée du bac 2017 Métropole
    Sujet à traiter en parallèle avec celui sur les éléments inversibles de l'anneau Z+Z(racine(5)). On y trouve aussi une équation de Pell-Fermat. Beaucoup d'analogies entre les deux problèmes.

    Numérotation du réseau Z2

    Le réseau Z2 est dénombrable et on va le numéroter.
    Ce problème est inspiré d'un énoncé à deux points rouges Magnard Audirac terminale C 1983.
    La numérotation de Z2 se prête assez bien à une programmation. On tiendra compte du fait qu'en 1983, tout se faisait à la main.

    Fractions continues

    Tout nombre réel irrationnel est infiniment développable en "fraction continue".
    Ce problème présente cette notion.
    La relative originalité du problème est que l'on part d'une suite d'entiers strictement positifs pour construire une suite de fractions continues qui va converger vers un certain irrationnel. On étudie ensuite une réciproque, une application (théorème de meilleure approximation rationnelle d'un irrationnel) et deux exemples anecdotiques.

    Un lot de trois problèmes exploitant dans divers domaines la notion de "fonction de Möbius" :

    Matrices stochastiques et application probabiliste

    Problème 02 d'entraînement
    La partie 1 de ce problème (donné en 2009) porte sur la notion de "matrice stochastique" (algèbre). La partie 2 est une application à une situation probabiliste (un exemple simple de processus de Markov). La partie 3 traite la même situation avec l'outil des suites.
    Voir le corrigé

    Haut de page

    Retour accueil