L'écrit du CAPES de Maths et autres friandises

Cette page contient quelques éléments de correction personnelle portant sur les épreuves d'écrit des CAPES de 2012 à 2017.
Vous trouverez l'énoncé complet de ces sujets sur le site du jury du CAPES

Quelques autres problèmes sur des thèmes divers, certains inédits, complètent cette page.

CAPES 2017

Les "tendances scélérates" dénoncées déjà en 2016 se confirment cette année. Certes, chacun des quatre problèmes proposés, pris à part, présente un intérêt. Mais la monotonie des thèmes abordés par leur ensemble ne permet pas de mettre en évidence ni les qualités de raisonnement d'un futur professeur de Mathématiques, ni l'étendue de ses savoirs. Il s'ajoute à cela un saucissonnage des énoncés en complète contradiction avec les intentions affichées par les programmes que seront censés appliquer ces futurs professeurs. Sans doute un aveu que ces intentions resteront voeu pieux et lettre morte.
Il est évident maintenant que le niveau de culture mathématique requis pour le concours est passé nettement en dessous du niveau d'un bon élève de Terminale C du début des années 1990. Mais apparemment c'est là une volonté délibérée des instances ministérielles.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 1 pb 1 . Le réseau des points à coordonnées entières. Bases et groupe d'invariance.
    Voir plus bas dans cette page un problème sur la numérotation de ce même réseau. Voir aussi un des problèmes du concours général 2017.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 1 pb 2 . Une équation fonctionnelle.
  • Quelques indications à propos de l'épreuve 2 pb 2 . Graphes, matrices de transition, matrices stochastiques. Pages rank. C'est le problème intrinsèquement le plus intéressant du lot. On le verrait cependant davantage dans un concours d'école de commerce qu'au CAPES de mathématiques. Nous voici à des années lumière des droites isogonales ou des triangles inscrits dans une hyperbole d'un monde à jamais perdu.
    Voir ici un corrigé personnel plus détaillé de ce problème.

    Je me permets de faire remarquer que, sur cette même page "Ecrit du CAPES", il existe depuis longtemps un problème, datant de 2012, dédié aux matrices stochastiques et à des applications probabilistes, en l'occurrence une sombre histoire de moustiques. (Tout en bas de la page, le dernier de la liste, "problème 02 d'entraînement" ... Encore fallait-il le dénicher ...)
  • CAPES 2016

    La Géométrie brille par son absence dans les sujets de la session 2016. Déjà suppliciée dans les nouveaux programmes du Collège, la voilà qui disparaît du paysage familier des épreuves du CAPES. Est-ce une concession faite aux tendances scélérates à toujours plus de numérique ? En contrepartie en effet, on frise l'indigestion d'approximations de toutes sortes.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 1 pb 1 . Interpolation de Lagrange.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 1 pb 2 . Méthode des différences finies.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 2 pb 1 . Une histoire de café au lait.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 2 pb 2 . Il s'agit d'un intéressant problème de probabilités qui me rappelle un ancien problème posé à propos du jeu télévisé "Questions pour un champion" (salut, Julien !).
  • CAPES 2015

    La session 2015 marque une évolution nette du style de problèmes posés. Les quatre problèmes ne sont pas vraiment festifs, loin s'en faut, mais ils sont parfaitement bien dosés pour évaluer le niveau mathématique minimal (certains diront minimaliste) requis pour le concours. Ceux et celles qui souhaitent des sujets plus audacieux n'ont qu'à se mesurer aux problèmes du Concours Général proposés dans la page dédiée, beaucoup plus éthérés et à la saveur plus épicée.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 1 pb 1 étudiant à l'aide de l'outil des nombres complexes un problème d'optimisation (minimisation d'une somme de distances dans le plan).
  • Mon corrigé personnel (un peu brut de décoffrage celui-là) de l'épreuve 1 pb 2 portant sur la notion de moyenne de Césaro associée à une suite numérique.
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 2 pb 1 portant sur le chiffrement affine et le chiffrement de Hill (arithmétique).
  • Mon corrigé personnel de l'épreuve 2 pb 2 , promenade aléatoire d'un point sur un axe (probabilités).
  • CAPES 2014

    Quelques éléments (un peu bruts de décoffrage) à propos des deux problèmes de géométrie posés dans cette session : Epreuve 1 pb 1 et épreuve 2 pb 3.

    CAPES 2013

  • Première épreuve, problème 1.
    Exemples classiques de nombres irrationnels. Développement en série de Engel d'un nombre réel compris entre 0 et 1. Critère de rationalité d'un tel développement.
    Voir quelques indications et réponses éparses.
    Voir un corrigé plus détaillé
  • Première épreuve, problème 2.
    Statistiques et probabilités. Notion d'entropie. Théorie de l'information, cas discret puis cas continu. Problème mettant en oeuvre des méthodes et des savoirs (en analyse principalement) qu'un candidat au CAPES se doit de connaître
    Voir quelques indications et réponses éparses.
    Voir un corrigé plus détaillé
  • Deuxième épreuve, problème 1
    A propos des puissances d'une matrice. Conditions pour que la suite des puissances d'une matrice soit une suite convergente. Problème d'algèbre permettant de bien travailler le calcul matriciel et de revisiter nombre de connaissances de base.
    Si ce problème vous inspire, allez voir le problème "Modèle d'Ehrenfest" cas de cinq boules, où l'on considère à un moment donné des puissances de matrices.
  • Deuxième épreuve, problème 2.
    Un intéressant problème d'arithmétique, visitant quelques théorèmes plus ou moins célèbres. L'apothéose en est le "théorème de Wolstenholme", lequel Wolstenholme n'est pas Christofer, le bassiste de Muse mais Joseph, un mathématicien anglais du XIXème siècle.
    Voir quelques indications et réponses éparses.
    Voir un corrigé plus détaillé
  • CAPES 2012

  • Première épreuve, problème 2
    Un corrigé personnel des parties "marches aléatoires sur un axe" et "marches aléatoires dans le plan"
    Quelques simulations avec le logiciel nSpire illustrant le problème
  • Première épreuve, problème 3
    Un corrigé personnel du problème avec quelques programmes annexes
  • Deuxième épreuve, question 5 du problème 1
    Le problème porte sur les éléments inversibles et ceux non inversibles de Z/nZ.
    Sa question 5 a pour objectif l'écriture de quelques algorithmes classiques de l'arithmétique.
  • Divers

    Quelques problèmes grossièrement classés. Beaucoup de géométrie, un peu de probabilités, un peu d'arithmétique, un peu de "tout venant" où, comme son nom l'indique, on trouve un peu de tout.

    Géométrie

    Lieu et construction

    Problème de géométrie tiré d'un manuel de Terminale C. Comment choisir un point K dans un triangle ABC pour qu'il soit isobarycentre d'un triangle PQR inscrit dans ABC ? Et ce qui s'ensuit ...
    Ce sujet n'est pas destiné prioritairement aux candidats au CAPES, car son style a disparu des radars ministériels. Il est ici à titre de culture générale mathématique, témoin de temps révolus. Ce sujet est accompagné d'un corrigé.

    Point de Fermat/Torricelli par les complexes

    Baccalauréat série C Rennes septembre 1976 : l'outil des nombres complexes.
    Le sujet original, autre témoignage de temps anciens.
    Ce sujet est accompagné d'un corrigé.

    Exemples de courbes isogones d'une conique

    Ou "le bal des bicarrées". Elles entrent dans le bal à propos des ellipses et des hyperboles. Les paraboles ont la gentillesse de les laisser en bordure de piste.

    En guise de réinvestissement de diverses techniques relatives au second degré (discriminant, signe du trinôme, liens entre coefficients et racines, ...)

    Une courbe isogone d'une conique (C) donnée est telle que, de chacun de ses points, on peut mener deux tangentes à la conique (C) déterminant un angle géométrique constant. Parmi les isogones de (C), il peut exister (mais ce n'est pas toujours le cas) la courbe orthoptique de la conique : de chacun des points de l'orthoptique, on peut mener deux tangentes à (C) perpendiculaires.
  • Deux sujets sur les courbes isogones d'une parabole :
    Etude d'un cas particulier . On choisit pour cette étude une parabole particulière.
    Etude du cas général . Même sujet, mais avec un paramètre en plus.
    Dans les deux cas, il est prudent de se munir d'un logiciel de calcul formel et éventuellement d'un autre de représentations graphiques.
  • Un sujet sur les courbes isogones d'une ellipse . Sont-ce des ellipses ?(Etude d'un exemple)
    Etude du cas général . Un essai de généralisation qui fouette quelques chats. Les candidats au CAPES en ont peut-être d'autres à fouetter avant ceux-ci, ce document ne leur est pas destiné prioritairement.
  • Un sujet sur les courbes isogones d'une hyperbole . Après paraboles et ellipses, voici les hyperboles. Ce n'est pas si différent de ce qu'il se passe pour les ellipses, c'est même, il me semble, plus facile.
  • Les trois tangents

    Ce document présente le sujet d'un exercice de géométrie d'un exercice du concours canadien CIPAS 2010. Il s'agit de déterminer le rayon d'un cercle satisfaisant des conditions de tangence avec deux autres cercles. Puis de construire la figure correspondante.
    Le document est composé du sujet original, de deux énoncés plus fermés explorant deux pistes de résolution différentes et d'un corrigé. Chacun pourra choisir sa mouture.

    Migration barycentrique

    La migration barycentrique ou "morphing" permet de transformer un objet géométrique en un autre
    Ce document propose une étude de quelques exemples simples de migration avec son corrigé.

    Droite d'Euler, cercle d'Euler, application

    Du cercle d'Euler d'un triangle aux olympiades balkaniques 2016. Une mouture "terminale C" du siècle dernier d'un thème classique de la géométrie du triangle
    Application à un exercice des olympiades balkaniques 2016
    Ce document propose un texte d'énoncé, une page d'indications et un corrigé.

    Isotomie

    Deux problèmes portant sur l'isotomie.
  • Isotomie. Un sujet sur la notion de "céviennes isotomiques" par rapport à un triangle ABC.
    Isotomiques de céviennes concourantes ou parallèles.
  • Point de Gergonne et point de Nagel d'un triangle. Sujet réinvestissant l'outil barycentrique, un peu tombé en désuétude maintenant.
    De la géométrie du XIXème siècle ... A traiter éventuellement après le problème précédent.
  • Ces deux documents proposent chacun un texte d'énoncé et un corrigé.

    Configurations de Vecten et de Van Aubel

    Etude conjointe Vecten / Van Aubel Un problème proposant l'étude, à l'aide de l'outil des nombres complexes, de ces deux configurations, classiques des manuels de première et terminale scientifique.
    Un problème annexe (problème de lieu) en lien avec la configuration de Vecten.

    L'heptadécagone

    L'heptadécagone : Constructibilité du polygone régulier à 17 côtés.

    Documents relatifs au thème "courbes de Bézier"

  • L'énoncé d'un problème portant sur les courbes de Bézier quadratiques (à trois points de contrôle). J'ai proposé ce problème, sous une forme modifiée, à titre de concours blanc en 2006 puis en 2008.
  • Un corrigé personnel de ce problème
  • Courbes de Bézier cubiques (à quatre points de contrôle). Quelques remarques à leur propos.
  • (Inédit) Triangles dont un angle mesure 120 degrés

    Etude de triangles dont un angle mesure 120 degrés. Recherche de tels triangles dont les côtés sont des nombres entiers
    Après une petite partie "Géométrie" (construction de triangles particuliers), le problème vire résolument à un problème d'arithmétique.
    On recherche des triangles à côtés entiers puis des triangles à côtés entiers dont deux sont des entiers consécutifs.
  • Voir des indications et réponses éparses sur la résolution de ce problème.
  • Voir un corrigé complet de ce problème.
  • Un concours blanc

  • Problème 01 d'entraînement
    Un concours blanc sur la notion de barycentre, de coordonnées barycentriques, de céviennes d'un triangle, ... posé en concours blanc en 2010.
    Voir le corrigé
  • Probabilités

    Paris baccalauréat série C 1975

    Un problème à thème : probabilité de ruine d'un joueur.
    Où l'on mesure que la série S dite actuellement "scientifique" n'a strictement rien à voir avec l'ancienne filière bac C. Le sujet et un corrigé. Un excellent sujet de CAPES 2018.

    Le problème des anniversaires

    Problème récurrent dans les manuels de terminale
    Quelle est la probabilité que deux élèves de la classes fêtent leur anniversaire le même jour ? Le sujet et un corrigé

    Poolage

    Pamela part en week-end.
    Mais elle doit avant cela terminer son travail ... Terminera-t-elle à temps ?
    Une application des lois binomiales. Le sujet et un corrigé

    Le jeu des quatre dames

    En application de la notion de probabilité conditionnelle : Système complet d'évènements et formule des probabilités totales.
    Arrivera-t-on à retourner les quatre dames ? Le jeu probablement dit et une généralisation : Le sujet et un corrigé

    Questions pour un champion en ligne

    Enoncés de deux problèmes de probabilités distincts inspiré par le jeu QPUC de FR3 (version en ligne).
    Le problème étudie un modèle d'urnes puis s'applique à quelques questins que l'on peut se poser à propos du jeu QPUC.
    Le premier problème étudie la probabilité de retrouver un questionnaire déjà vu lors de l'épreuve "Face à face" de ce jeu.
    Le deuxième problème étudie l'espérance du temps d'attente nécessaire pour obtenir tous les questionnaires disponibles.
    Ce deuxième problème est illustré par une simulation.
    L'énoncé est un peu brut de décoffrage. Sur le même thème, le sujet de probabilités du CAPES 2016 est plus gratifiant.
  • Voir des indications et réponses éparses sur la résolution du problème 1.
  • Voir un corrigé complet des deux problèmes.
  • (Inédit) Modèle d'Ehrenfest

    Trois boules dans les urnes puis quatre puis cinq ... Problème de probabilités amenant à des suites numériques.
    Le cas M=3 est de difficulté moyenne, les cas M=4 puis M=5 donnent lieu à des calculs plus éthérés. On y trouve des racines de 10 puis des racines de 19 là où on n'en attendait pas.
    L'énoncé est volontairement assez ouvert, les résultats à obtenir sont à votre charge.
  • Voir des indications et réponses éparses sur la résolution de ce problème.
  • Voir un corrigé complet de ce problème.
  • Arithmétique

    La voisine de palier

    La voisine de palier est le sujet d'un exercice d'arithmétique de niveau Terminale S Spé inspiré d'un concours mathématique canadien.
  • (Inédit) Problème 03 : théorème de Lamé
    Le théorème de Lamé majore le nombre de divisions nécessaires dans l'algorithme d'Euclide pour obtenir le PGCD. Une démonstration de ce théorème est proposée par ce problème, en application de l'étude d'une suite de Finobacci...
    Voir le corrigé
  • (Inédit) Problème 04 : Suites d'Eden
    Une autre application des suites de Fibonacci : il s'agit de dénombrer des suites d'entiers extraites de {1,2,...,n} satisfaisant certaines conditions.
    Voir le corrigé
  • Mathématiques générales (tout venant ...)

    Numérotation du réseau Z2

    Le réseau Z2 est dénombrable et on va le numéroter.
    Ce problème est inspiré d'un énoncé à deux points rouges Magnard Audirac terminale C 1983.
    La numérotation de Z2 se prête assez bien à une programmation. On tiendra compte du fait qu'en 1983, tout se faisait à la main.

    Fractions continues

    Tout nombre réel irrationnel est infiniment développable en "fraction continue".
    Ce problème présente cette notion.
    La relative originalité du problème est que l'on part d'une suite d'entiers strictement positifs pour construire une suite de fractions continues qui va converger vers un certain irrationnel. On étudie ensuite une réciproque, une application (théorème de meilleure approximation rationnelle d'un irrationnel) et deux exemples anecdotiques.

    Voyage au Malthuskistan

    Le sujet de baccalauréat série C Montpellier 1984, portant sur des suites récurrentes doubles. Mais où sont les suites d'antan ?
    Le sujet original avec complément sur suites récurrentes doubles.
    Un corrigé commenté.

    Un lot de trois problèmes exploitant dans divers domaines la notion de "fonction de Möbius" :

    Baccalauréat Tel Aviv 1976. Etude d'une structure d'anneau sur l'ensemble N*.
    Cet étonnant sujet porte sur la notion de produit de convolution de Dirichlet. On y retrouve la fonction de Möbius et autres friandises.
    Ce document propose le texte original, deux questions complémentaires et un corrigé.

    Nombres libres de carrés. Un entier est dit libre de carrés s'il n'est divisible par aucun carré de nombre entier. Mais quelle est la proportion de nombres libres de carrés parmi les entiers ? Une application de la fonction de Möbius.

    Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux . Une autre application de la fonction de Möbius.
  • Problème 02 d'entraînement
    La partie 1 de ce problème (donné en 2009) porte sur la notion de "matrice stochastique" (algèbre). La partie 2 est une application à une situation probabiliste (un exemple simple de processus de Markov). La partie 3 traite la même situation avec l'outil des suites.
    Voir le corrigé