Sujets de Mathématiques au Concours Général des Lycées

Les sujets de Mathématiques posés au Concours Général des Lycées suscitent toujours curiosité et intérêt.
Les candidats au CAPES peuvent y exercer leur sagacité, à un niveau nettement supérieur à celui nécessaire pour le concours.
Celui ou celle qui parvient à résoudre 50 % (d'aucuns diront désormais 5 % ...) de l'un quelconque des problèmes posés est clairement au dessus du niveau requis pour l'écrit du CAPES.

Concours général 2017

Une nouveauté cette année : un sujet de Mathématiques destiné aux élèves des séries ES et L. Je ne saurais trop recommander aux candidats au CAPES de traiter la totalité de ce sujet, dont le niveau me paraît taillé sur mesure pour une préparation au concours.
Trois problèmes abordent des thèmes classiques : fonctions convexes (problème 1), suites de Fibonacci (problème 2) et marche aléatoire (problème 3).
Voici un document sur le problème 3. Eléments de correction, simulation, un prolongement.

En ce qui concerne la série S :

  • Le premier problème porte sur des ensembles de nombres stables par multiplication et par somme de carrés. Voici quelques pistes concernant ce problème.
  • Le deuxième problème étudie un QCM.
    Voici dans ce document une variante du problème original. Il est certainement préférable de commencer par aborder le sujet original. Il ne s'agit ici que d'un éclairage un peu différent de la situation présentée.
  • Le troisième problème étudie les triangles de l'espace dont les sommets sont des points à coordonnées entières. On pourra le comparer à un problème du CAPES 2017 où il question du réseau des points entiers. Voici une contribution succincte donnant quelques indications.
    Vous trouverez ici une mouture plus détaillée.
  • Concours général 2016

    La session 2016 propose trois problèmes, bien entendu tous consistants.
  • Le premier problème porte sur les entiers décomposables en somme de cubes distincts. Sommes de cubes.
    Ce document, outre quelques indications, propose quelques programmes auxiliaires réalisés avec TInSpire. Il propose aussi une liste de 288 entiers répondant à la question 3.
  • Pour un corrigé plus détaillé de ce problème, voir ici.
  • Le deuxième problème porte sur la densité des forêts ...
    Je dédie ce document à tous les agriculteurs de la plaine de Vinça, et en particulier à Raymond, qui, en été, m'employait quand j'étais adolescent puis étudiant, à la cueillette des pêches. Je me souviens des Dixie Red de Cassanyes et des Elberta, plus tardives, du Cami de Finestret.
  • Le troisième problème propose une étude de marche aléatoire dans le plan complexe. On pourra se référer à son sujet au "théorème de Polya" sur les marches aléatoires dans un espace de dimension donnée. Voici une contribution succincte donnant quelques indications.
  • Concours général 2015

    La session 2015 est au titre de l'intérêt et de l'originalité des sujets un excellent cru (mais pourrait-il en être autrement ?)
  • Le premier problème nous invite à suivre les pas de Clara et d’Isabelle, deux mathématiciennes en herbe ... "Petits poids".
    Ce document ouvre quelques pistes de réflexion. On y trouvera notamment quelques programmes réalisés avec TInSpire aidant à écosser les petits poids.
  • . Le deuxième problème porte sur les "Tétraèdres". Il a été incorporé ici à un sujet de problème plus vaste, que j'avais en réserve, portant sur la notion de point de Monge d'un tétraèdre.
    Des trois problèmes c'est, sans conteste, celui qui se rapproche le plus de l'ambiance "concours CAPES" à l'intention désormais des candidats 2016. Le sujet complet est accompagné d'un corrigé.
  • Le troisième problème, insolite et déconcertant, est une pure merveille portant sur la notion de "moyennes prévisionnelles". Ce document ouvre quelques pistes de réflexion.

    Théorème de Beatty, jeu de Wythoff et concours général 1994

  • Ce premier problème sur les suites de Beatty étudie les parties entières des multiples d'un réel strictement positif.
    En particulier, les suites de Beatty associées au nombre d'or et à son carré trouvent une application dans la construction d'une stratégie gagnante dans un "jeu de Wythoff".
  • Ce deuxième problème, plus court, développe des thèmes voisins du précédent. La partie A a pour application une démarche de résolution de l'exercice 1 du concours général 1994 dont le texte constitue la partie B.
  • Concours général 2014

  • Concours général 2014, problème 2 : Vite pile.
    Ce problème revisite une situation "classique" de temps d'attente.
    Ce document présente le sujet, des simulations associées à la situation et des indications
  • Concours général 2014, problème 3 : des chiffres et des lettres.
    Un problème d'arithmétique qui mobilise en même temps l'outil des congruences, des notions de numération et des notions de divisibilité.
    Ce document présente le sujet, des indications et des éléments de correction
  • Concours général 2013

  • Concours général 2013, problème 3 : le mythe de Sisyphe.
    L’auteur de ce sujet a su bousculer avec brio les conventions habituelles d’un problème de probabilités …
    Sisyphe avait été condamné par Zeus à remonter indéfiniment un rocher en haut d’une montagne. Ce rocher retombait invariablement au bas de la pente, ce qui obligeait Sisyphe à recommencer encore et encore à rouler son rocher.
    Le choix de « Sisyphe » comme prénom du héros du problème n’est pas le fait du hasard ... On découvrira pourquoi en cours de résolution.
    Quelques éléments de réponse de ce problème
  • Concours général 2012

  • Programme de décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers avec nSpire.
    Application au problème 1 du Concours Général 2012 : "Les premiers sont en haut, les exposants sont en bas"
    Voir le document
    Ce document propose une construction de la matrice des facteurs premiers d'un entier > 1 avec le logiciel nSpire.
    Cette matrice est ensuite utilisée pour construire avec nSpire la fonction f du problème 1 (problème d'arithmétique) du Concours Général 2012 et permettre d'élaborer quelques conjectures sur son comportement. La "fonction f" intervertit les facteurs premiers de la décomposition d'un entier et leurs exposants
  • Suites majoritairement décroissantes : Concours général 2012, problème 2
    L'énoncé et quelques compléments (notamment l'étude d'une suite auxiliaire)
    Commencez par chercher votre propre solution sans les "compléments".
    La piste de résolution proposée dans ces compléments amène à une démonstration par récurrence un peu insolite ...
  • "Le facteur sonne toujours une fois (et une seule)" :Concours général 2012, problème 3
    L'énoncé et des conjectures
    Intéressant problème de culture générale mathématique, bon entraînement pour le CAPES.
    Ce document propose un travail sur logiciel (fonctions, programmes, simulations) suscitant quelques conjectures à propos des principaux résultats du problème.